勝率8割で29連勝する確率 [数学]
箱の中にボールが10個あって当たりが8個。29回当たりを引き続ける確率はいくらか。
もちろん一回ひくたびにボールは箱の中に戻す。
\( 0.8 \left( = \frac{ 8 }{ 10 } \right) \)を29乗してその逆数を算出すれば、何分の一なのかが分かる。
\( \frac{ 8 }{ 10 } \left( = \frac{ 4 }{ 5 } \right) \)の分母と分子を入れ替えて29乗すればいい。
つまり\( 1.25 \left( = \frac{ 5 }{ 4 } \right) \)を29回掛ければいい。
電卓で、1.25を29回掛けてもいいし、
5を掛けて4で割る操作を29回繰り返してもいい。
理屈の上ではそうなんだけど容易ではない。
べき乗を計算するボタンがあったら、1.25 「 \( x^y \) 」 29とやってもいいが、
そのボタンがない場合もある。
また、こういうとき計算途中で答えが電卓の桁に納まらなくなる可能性もある。
式を変換してできるだけ計算を簡単にできないだろうかと考えた。
\begin \times
\begin{align*}
\large{ x } &= \left( \frac{ 8 }{ 10 } \right)^{ 29 } \\
log_{10} \large{ x } &= log_{10}\left( \frac{ 8 }{ 10 } \right)^{ 29 } \\
&= 29 \times log_{10}\left( \frac{ 8 }{ 10 } \right) \\
&= 29\left( log_{10}8 - log_{10}10 \right) \\
&= 29\left( log_{10}8 - 1 \right) \\
& \fallingdotseq -2.81 \\
\large{ x } &= \large{10^{ 29\left( log_{10}8 - 1 \right) }} \\
& \fallingdotseq \large{ 10^{-2.81} } \\
&= \frac{ 1 }{ 10^{2.81} } \\
& \fallingdotseq \frac{ 1 }{ 645.65 }
\end{align*}
\( log_{10}8 \)も、\( 10^{2.81} \)も、Windowsの電卓アプリケーションの関数電卓モードで計算した。
電卓に対数や指数計算の機能がない場合、
\( log_{10}8 \)は対数表で調べるとして、
\( 10^{2.81} \)は、
\begin{align*}
log_{10}10^{2.81} &= 2.81 \times log_{10}10 \\
&= 2.81 \\
&= 0.81 + 2 \\
& \fallingdotseq log_{10}6.46 + 2log_{10}10 \\
&= log_{10}6.46 + log_{10}10^{2} \\
&= log_{10}\left( 6.46 \times 10^{2} \right) \\
10^{2.81} & \fallingdotseq 6.46 \times 10^{2} = 646
\end{align*}
\( 0.81 \fallingdotseq log_{10}6.46 \)は対数表から。
＜別式＞
\begin{align*}
\left( \frac{ 8 }{ 10 } \right)^{ 29 } = \frac{ 8^{29} }{ 10^{29} }
\end{align*}
\begin{align*}
8^{29} &= 10^x \\
x &= log_{10}8^{29} \\
&= 29log_{10}8 \\
\large{ 8^{29} } &= \large{10^{ 29log_{10}8 }}
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{ 8^{29} }{ 10^{29} } &= \frac{ 10^{29log_{10}8} }{ 10^{29} } \\
&= \large{ 10^{29log_{10}8} \times 10^{-29} } \\
&= \large{ 10^{29log_{10}8-29} } \\
&= \large{ 10^{29 \left( log_{10}8-1 \right)} } \\
& \fallingdotseq \large{ 10^{-2.81} } = \frac{ 1 }{ 10^{2.81} } \\
& \fallingdotseq \frac{ 1 }{ 645.65 }
\end{align*}
＜勝率が7割で29連勝の場合＞
\begin{align*}
\left( \frac{ 7 }{ 10 } \right)^{ 29 } &= \large{10^{ 29\left( log_{10}7 - 1 \right) }} \\
& \fallingdotseq \large{ 10^{-4.492} } = \frac{ 1 }{ 10^{4.492} } \\
& \fallingdotseq \frac{ 1 }{ 31057 }
\end{align*}
＜勝率が9割で29連勝の場合＞
\begin{align*}
\left( \frac{ 9 }{ 10 } \right)^{ 29 } &= \large{10^{ 29\left( log_{10}9 - 1 \right) }} \\
& \fallingdotseq \large{ 10^{-1.327} } = \frac{ 1 }{ 10^{1.327} } \\
& \fallingdotseq \frac{ 1 }{ 21.23 }
\end{align*}
もちろん一回ひくたびにボールは箱の中に戻す。
\( 0.8 \left( = \frac{ 8 }{ 10 } \right) \)を29乗してその逆数を算出すれば、何分の一なのかが分かる。
\( \frac{ 8 }{ 10 } \left( = \frac{ 4 }{ 5 } \right) \)の分母と分子を入れ替えて29乗すればいい。
つまり\( 1.25 \left( = \frac{ 5 }{ 4 } \right) \)を29回掛ければいい。
電卓で、1.25を29回掛けてもいいし、
5を掛けて4で割る操作を29回繰り返してもいい。
理屈の上ではそうなんだけど容易ではない。
べき乗を計算するボタンがあったら、1.25 「 \( x^y \) 」 29とやってもいいが、
そのボタンがない場合もある。
また、こういうとき計算途中で答えが電卓の桁に納まらなくなる可能性もある。
式を変換してできるだけ計算を簡単にできないだろうかと考えた。
\begin \times
\begin{align*}
\large{ x } &= \left( \frac{ 8 }{ 10 } \right)^{ 29 } \\
log_{10} \large{ x } &= log_{10}\left( \frac{ 8 }{ 10 } \right)^{ 29 } \\
&= 29 \times log_{10}\left( \frac{ 8 }{ 10 } \right) \\
&= 29\left( log_{10}8 - log_{10}10 \right) \\
&= 29\left( log_{10}8 - 1 \right) \\
& \fallingdotseq -2.81 \\
\large{ x } &= \large{10^{ 29\left( log_{10}8 - 1 \right) }} \\
& \fallingdotseq \large{ 10^{-2.81} } \\
&= \frac{ 1 }{ 10^{2.81} } \\
& \fallingdotseq \frac{ 1 }{ 645.65 }
\end{align*}
\( log_{10}8 \)も、\( 10^{2.81} \)も、Windowsの電卓アプリケーションの関数電卓モードで計算した。
電卓に対数や指数計算の機能がない場合、
\( log_{10}8 \)は対数表で調べるとして、
\( 10^{2.81} \)は、
\begin{align*}
log_{10}10^{2.81} &= 2.81 \times log_{10}10 \\
&= 2.81 \\
&= 0.81 + 2 \\
& \fallingdotseq log_{10}6.46 + 2log_{10}10 \\
&= log_{10}6.46 + log_{10}10^{2} \\
&= log_{10}\left( 6.46 \times 10^{2} \right) \\
10^{2.81} & \fallingdotseq 6.46 \times 10^{2} = 646
\end{align*}
\( 0.81 \fallingdotseq log_{10}6.46 \)は対数表から。
＜別式＞
\begin{align*}
\left( \frac{ 8 }{ 10 } \right)^{ 29 } = \frac{ 8^{29} }{ 10^{29} }
\end{align*}
\begin{align*}
8^{29} &= 10^x \\
x &= log_{10}8^{29} \\
&= 29log_{10}8 \\
\large{ 8^{29} } &= \large{10^{ 29log_{10}8 }}
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{ 8^{29} }{ 10^{29} } &= \frac{ 10^{29log_{10}8} }{ 10^{29} } \\
&= \large{ 10^{29log_{10}8} \times 10^{-29} } \\
&= \large{ 10^{29log_{10}8-29} } \\
&= \large{ 10^{29 \left( log_{10}8-1 \right)} } \\
& \fallingdotseq \large{ 10^{-2.81} } = \frac{ 1 }{ 10^{2.81} } \\
& \fallingdotseq \frac{ 1 }{ 645.65 }
\end{align*}
＜勝率が7割で29連勝の場合＞
\begin{align*}
\left( \frac{ 7 }{ 10 } \right)^{ 29 } &= \large{10^{ 29\left( log_{10}7 - 1 \right) }} \\
& \fallingdotseq \large{ 10^{-4.492} } = \frac{ 1 }{ 10^{4.492} } \\
& \fallingdotseq \frac{ 1 }{ 31057 }
\end{align*}
＜勝率が9割で29連勝の場合＞
\begin{align*}
\left( \frac{ 9 }{ 10 } \right)^{ 29 } &= \large{10^{ 29\left( log_{10}9 - 1 \right) }} \\
& \fallingdotseq \large{ 10^{-1.327} } = \frac{ 1 }{ 10^{1.327} } \\
& \fallingdotseq \frac{ 1 }{ 21.23 }
\end{align*}
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